這個單元要來探討的主題是：結構的「模態振型」(Mode shapes)，有單位嗎？
要回答這個問題，本單元將舉一個懸臂樑的實際結構來做說明。如圖片左上方，一個細長型的薄樑，在左端是固定邊界(fixed boundary)，在右端是自由邊界(free boundary)。
懸臂樑就是一個結構，每個結構都會有「振動模態」(vibration mode)。每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」(modal parameters)。包括：
(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(Natural
frequencies)，慣用單位：Hz。
(2) 𝝓𝒓「模態振型」(Mode
shapes)，慣用單位：m。
(3) 𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal
damping ratios)，無因次參數，慣用數值單位，常以%表示。
其中，𝒓是指第𝒓個「振動模態」。對一般的結構來說，會有無窮多個「振動模態」。要取得「振動模態」的三個「模態參數」，主要的實驗方法就是：EMA「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)。尤其，𝝃𝒓「模態阻尼比」通常必須由實驗求得。
另外，也可以由理論分析，進行FEA「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)，特別是要進行結構的「模態分析」(Modal analysis)，可以求得結構的「振動模態」。
接著，參閱圖示的懸臂樑「有限元素模型」(Finite Element model, FE model)，進行FEA的「模態分析」。一般來說，通常採用的是「正交模態分析」(normal mode modal analysis)，所以只可以求得：𝒇𝒓「自然頻率」及𝝓𝒓「模態振型」。
參閱圖片右邊的圖示與動畫，係透過FEA，分析取得的𝒇𝒓「自然頻率」及𝝓𝒓「模態振型」。以下說明此懸臂樑結構的「模態振型」類型及其物理意義。
懸臂樑結構第一種類型的「模態振型」是z-方向彎曲模態(z-bending mode)，說明如下：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」：𝒇𝟏= 12.752 Hz，𝒇𝟐= 79.878 Hz，𝒇𝟒= 223.85 Hz，𝒇𝟔= 439.44 Hz。
2. 對應𝒇𝒓
的𝝓𝒓「模態振型」：𝝓𝟏 = 1st bending-z，𝝓𝟐
= 2nd bending-z，𝝓𝟒 = 3rd bending-z，𝝓𝟔
= 4th bending-z。除了固定端的不動點之外，由𝝓𝒓「模態振型」動畫，可到不動點稱為「節點」(nodal point)。
3. 𝝓1=沒有「節點」。𝝓𝟐=有1個「節點」。𝝓𝟒=有2個「節點」，因為，實際上是3rd
bending-z。𝝓𝟔=有3個「節點」，因為，實際上是4th
bending-z。
4. 在前6個「振動模態」，有4個是z-方向彎曲模態(z-bending mode)。其間，穿插了其他類型的「模態振型」。
懸臂樑結構第二種類型的「模態振型」是x-方向扭轉模態(x-torsional mode)，說明如下：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」：𝒇𝟑= 217.74 Hz。
2. 對應𝒇𝒓
的𝝓𝒓「模態振型」：𝝓𝟑
= 1st torsional-x。這是x-方向扭轉模態(x-torsional mode)，除了固定端的不動點之外，由𝝓𝒓「模態振型」動畫，可到不動點的線稱為「節線」(nodal line)。
3. 在前6個「振動模態」，只有1個是x-方向扭轉模態(x-torsional mode)。
懸臂樑結構第三種類型的「模態振型」是y-方向彎曲模態(y-bending mode)，說明如下：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」：𝒇𝟓= 249.79 Hz。
2. 對應𝒇𝒓
的𝝓𝒓「模態振型」：𝝓𝟓
= 1st bending-y。這是y-方向彎曲模態(y-bending mode)，和z-方向彎曲模態類似，但是，在不同方向。
3. 在前6個「振動模態」，只有1個是y-方向彎曲模態(y-bending mode)。
由以上可知，在不同的𝒇𝒓「自然頻率」，結構會有不同的𝝓𝒓「模態振型」，也就是結構在該𝒇𝒓頻率下的變形狀態與運動行為，就是𝝓𝒓「模態振型」。
回到這個單元的主題，結構𝝓𝒓「模態振型」有單位嗎？其物理意義(physical meaning)又是甚麼？彙整說明如下：
1. 結構𝝓𝒓「模態振型」的物理意義(physical
meaning)：一般來說，指的都是「位移模態振型」(displacement mode shapes)，所以位移物理量的SI制單位是m。
2. 𝝓𝒓「位移模態振型」：是結構在該𝒇𝒓「自然頻率」下的變形狀態與運動行為。
3. 𝝓𝒓「位移模態振型」隱含意義：當結構「共振」(resonance)時，如果結構受到簡諧外力激振(harmonic force
excitation)，如果此簡諧外力的𝒇𝒆「激振頻率」相等或相近於𝒇𝒓「自然頻率」，亦即𝒇𝒆=𝒇𝒓、或𝒇𝒆~𝒇𝒓時，可以觀察到結構的運動狀態，會是𝝓𝒓「位移模態振型」的變形狀態與運動行為。
總結一下這個單元的討論：結構的「模態振型」(Mode shapes)，有單位嗎？統整如下：
1. 結構的「模態振型」(Mode shapes)：是結構的「振動模態」(vibration mode)之三個「模態參數」(modal parameters)的其中之一。而，「模態參數」(modal parameter)：有三個，包括：(1)
𝒇𝒓「自然頻率」(Natural
frequencies)、(2) 𝝓𝒓「模態振型」(Mode shapes)、(3)
𝝃𝒓「模態阻尼比」(Modal
damping ratios)。
2. 以懸臂樑結構做舉例，有三種類型的𝝓𝒓「模態振型」：(1) z-方向彎曲模態(z-bending mode)，(2) x-方向扭轉模態(x-torsional mode)，(3) y-方向彎曲模態(y-bending mode)。在不同的𝒇𝒓「自然頻率」，結構會有不同的𝝓𝒓「模態振型」。也就是結構在該𝒇𝒓「自然頻率」下的變形狀態與運動行為，就是𝝓𝒓「模態振型」。
3. 結構𝝓𝒓「模態振型」的物理意義(physical
meaning)：一般來說，指的都是「位移模態振型」(displacement mode shapes)，所以位移物理量的SI制單位是m。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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